设 $P_{n}(x_{n}, y_{n})$ 是直线 $2x - y = \frac{n}{n + 1}$ （$n \in \mathbf{N}^*$）与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 在第一象限的交点，则极限 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =$（ ）

已知椭圆 $x^{2} + 2y^{2} = 1$，过原点的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别与椭圆交于点 $A$，$B$ 和 $C$，$D$. 记 $\triangle AOC$ 的面积为 $S$.

(1) 设 $A(x_{1}, y_{1})$，$C(x_{2}, y_{2})$. 用 $A$，$C$ 的坐标表示点 $C$ 到直线 $l_{1}$ 的距离，并证明 $S = \frac{1}{2} |x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}|$； (2) 设 $l_{1}: y = kx$，$C\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$，$S = \frac{1}{3}$. 求 $k$ 的值. (3) 设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率之积为 $m$，求 $m$ 的值，使得无论 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 如何变动，面积 $S$ 保持不变.