已知函数 $f(x) = \sin x$. 若存在 $x_1$，$x_2$，$\dots$，$x_m$ 满足 $0 \leqslant x_1 < x_2 < \dots < x_m \leqslant 6\pi$，且 $|f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - f(x_3)| + \dots + |f(x_{m-1}) - f(x_m)| = 12$（$m \geqslant 2$，$m \in \mathbf{N}^*$），则 $m$ 的最小值为______.