设 $|\theta|<\frac\pi2$，数列 $\{a_n\}$ 的通项是 $a_n=\sin\frac{n\pi}{2}\cdot\tan^{n}\theta$，记 $S_{2n}=a_{1}+a_{2}+\dots+a_{2n-1}+a_{2n}$.

(1) 求证：对任何自然数 $n$，$S_{2n}=\frac12(\sin2\theta)[1+(-1)^{n+1}\tan^{2n}\theta]$. (2) 求证：当 $n\geqslant2$ 时，$a_n^{2}+a_{n-1}a_{n+1}+(-1)^n(a_{1}^{n})^{2}=0$.