设函数 $f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)$（其中 $A>0$，$\omega>0$，$-\pi<\varphi\leqslant \pi$）在 $x=\frac{\pi}{6}$ 处取得最大值 2，其图象与 $x$ 轴的相邻两个交点的距离为 $\frac{\pi}{2}$.

(1) 求 $f(x)$ 的解析式； (2) 求函数 $g(x)=\frac{6\cos^{4}x-\sin^{2}x-1}{f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}$ 的值域.