设四面体的六条棱的长分别为 $1$，$1$，$1$，$1$，$\sqrt{2}$ 和 $a$，且长为 $a$ 的棱与长为 $\sqrt{2}$ 的棱异面，则 $a$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 设长为 $a$ 的一条棱为 $AB$，与之异面的长为 $\sqrt2$ 的棱为 $CD$，则另外四条棱 $AC$，$AD$，$BC$，$BD$ 的长均为 $1$. 取 $AB$ 的中点为原点，使 $A=(-\frac a2,0,0)$，$B=(\frac a2,0,0)$. 由 $AC=BC=1$ 及 $AD=BD=1$，可设 $C=(0,u,v)$，$D=(0,s,t)$，并有 $u^2+v^2=s^2+t^2=1-\frac{a^2}{4}$. 记 $r=\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}$，则 $C$，$D$ 位于同一圆心为原点、半径为 $r$ 的圆上.

因为 $CD=\sqrt2$，由三角不等式得 $\sqrt2=|CD|\leq|C|+|D|=2r$，所以 $2\leq4-a^2$，即 $a^2\leq2$. 若 $a=\sqrt2$，则 $CD=2r$，等号成立时 $D=-C$，四点 $A$，$B$，$C$，$D$ 共面，不能构成非退化四面体，故必须有 $a<\sqrt2$. 又棱长 $a>0$，所以 $0<a<\sqrt2$.

反过来，任取 $0<a<\sqrt2$，则 $2r>\sqrt2$，可在该圆上取两点 $C$，$D$，使 $CD=\sqrt2$ 且 $D\ne-C$，从而四点不共面并满足六条棱的长度条件. 因此 $a$ 的取值范围为 $(0,\sqrt2)$，故选 A. \end{solution}

设函数 $f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)$（其中 $A>0$，$\omega>0$，$-\pi<\varphi\leqslant \pi$）在 $x=\frac{\pi}{6}$ 处取得最大值 2，其图象与 $x$ 轴的相邻两个交点的距离为 $\frac{\pi}{2}$.

(1) 求 $f(x)$ 的解析式； (2) 求函数 $g(x)=\frac{6\cos^{4}x-\sin^{2}x-1}{f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}$ 的值域.

如图，在直三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$AB=4$，$AC=BC=3$，$D$ 为 $AB$ 的中点.

(1) 求异面直线 $CC_{1}$ 和 $AB$ 的距离； (2) 若 $AB_{1}\perp A_{1}C$，求二面角 $A_{1}-CD-B_{1}$ 的平面角的余弦值.

如图，设椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，上顶点为 $A$，左，右焦点分别为 $F_{1}$，$F_{2}$，线段 $OF_{1}$，$OF_{2}$ 的中点分别为 $B_{1}$，$B_{2}$，且 $\triangle AB_{1}B_{2}$ 是面积为 $4$ 的直角三角形.

(1) 求该椭圆的离心率和标准方程； (2) 过 $B_{1}$ 作直线交椭圆于 $P$，$Q$ 两点，使 $PB_{2}\perp QB_{2}$，求 $\triangle PB_{2}Q$ 的面积.