已知函数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + ax + 1$（$a \in \mathbf{R}$）.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 当 $a < 0$ 时，试讨论是否存在 $x_0 \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, 1\right)$，使得 $f(x_0) = f\left(\frac{1}{2}\right)$.