设各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，且 $S_{n}$ 满足 $S_{n}^{2} - (n^{2} + n - 3)S_{n} - 3(n^{2} + n) = 0$，$n \in \mathbf{N}^{*}$.

(1) 求 $a_{1}$ 的值； (2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数 $n$，有 $\frac{1}{a_1(a_1 + 1)} + \frac{1}{a_2(a_2 + 1)} + \cdots + \frac{1}{a_n(a_n + 1)} < \frac{1}{3}$.