如图 1，四边形 $ABCD$ 为矩形，$PD \perp$ 平面 $ABCD$，$AB = 1$，$BC = PC = 2$，作如图 2 折叠，折痕 $EF \parallel DC$. 其中点 $E$，$F$ 分别在线段 $PD$，$PC$ 上，沿 $EF$ 折叠后点 $P$ 叠在线段 $AD$ 上的点记为 $M$，并且 $MF \perp CF$.

(1) 证明：$CF \perp$ 平面 $MDF$； (2) 求三棱锥 $M-CDE$ 的体积.

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