过抛物线 $y^{2} = 2px$（$p > 0$）的对称轴上一点 $A(a,0)$（$a > 0$）的直线与抛物线相交于 $M$，$N$ 两点，自 $M$，$N$ 向直线 $l$：$x = -a$ 作垂线，垂足分别为 $M_{1}$，$N_{1}$.

(1) 当 $a = \frac{p}{2}$ 时，求证： $AM_{1} \perp AN_{1}$； (2) 记 $\triangle AMM_{1}$，$\triangle AM_{1}N_{1}$，$\triangle ANN_{1}$ 的面积分别为 $S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，是否存在 $\lambda$，使得对任意的 $a > 0$，都有 $S_{2}^{2} = \lambda S_{1}S_{3}$ 成立. 若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由.