已知 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = -a_{n} - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 2$（$n$ 为正整数）.

(1) 令 $b_{n} = 2^{n}a_{n}$，求证数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 令 $c_{n} = \frac{n + 1}{n} a_{n}$，$T_{n} = c_{1} + c_{2} + \cdots + c_{n}$，试比较 $T_{n}$ 与 $\frac{5n}{2n + 1}$ 的大小，并予以证明.