如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是正方形，$SD \perp$ 平面 $ABCD$，$SD = 2a$，$AD = \sqrt{2}a$，点 $E$ 是 $SD$ 上的点，且 $DE = \lambda a$（$0 < \lambda \leqslant 2$）.

(1) 求证：对任意的 $\lambda \in (0,2]$，都有 $AC \perp BE$； (2) 设二面角 $C-AE-D$ 的大小为 $\theta$. 直线 $BE$ 与平面 $ABCD$ 所成的角为 $\varphi$. 若 $\tan \theta \cdot \tan \varphi = 1$，求 $\lambda$ 的值.