设函数 $f(x) = \sqrt{x^2 + 1} - ax$，其中 $a > 0$.

(1) 解不等式 $f(x) \leqslant 1$； (2) 证明：当 $a \geqslant 1$ 时，函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,+\infty\right)$ 上是单调函数.

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 $300$ 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.

(1) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 $P = f(t)$ 和图二表示的种植成本与时间的函数关系式 $Q = g(t)$； (2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

注：市场售价与种植成本的单位：$\text{元}/10^{2}\mathrm{~kg}$，时间单位：$\text{天}$.