设 $A(x_1,y_1)$ 为椭圆 $x^2+2y^2=2$ 上的任意一点，过点 $A$ 作一条斜率为 $-\frac{x_1}{2y_1}$ 的直线 $l$. 又设 $d$ 为原点到直线 $l$ 的距离，$r_1$，$r_2$ 分别为点 $A$ 到椭圆两焦点的距离. 试证明 $\sqrt{r_1r_2}\cdot d$ 是常数.

在 $xOy$ 平面上给定一曲线 $y^2=2x$.

(1) 设点 $A$ 的坐标为 $\left(\frac{2}{3},0\right)$. 求曲线上距点 $A$ 最近的点 $P$ 的坐标及相应的距离 $|PA|$. (2) 设点 $A$ 的坐标为 $(a,0)$，$a\in\mathbf{R}$. 求曲线上点到点 $A$ 的距离的最小值，并写出 $d=f(a)$ 的函数表达式.