传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数 1, 3, 6, 10, $\dots$ 记为数列 $\{a_{n}\}$，记可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 $\{b_{n}\}$，可以推测：

(1) $b_{2012}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 中的第______ 项； (2) $b_{2k-1} =\underline{\hspace{2em}}$（用 $k$ 表示）

设 $A$ 是单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的任意一点，$l$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线，$D$ 是直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|DM| = m|DA|$ （$m > 0$ 且 $m \neq 1$）. 当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$.

(1) 求曲线 $C$ 的方程，判断曲线 $C$ 为何种圆锥曲线. 并求其焦点坐标； (2) 过原点且斜率为 $k$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P$，$Q$ 两点，其中 $P$ 在第一象限，它在 $y$ 轴上的射影为点 $N$，直线 $QN$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$. 是否存在 $m$，使得对任意的 $k > 0$，都有 $PQ \perp PH$？ 若存在，求 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

设函数 $f(x) = ax^n (1 - x) + b$（$x > 0$），$n$ 为正整数，$a$，$b$ 为常数. 曲线 $y = f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x + y = 1$.

(1) 求 $a$，$b$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的最大值； (3) 证明： $f(x) < \frac{1}{n\mathrm{e}}$.