如图，正方形 $ABCD$ 是一块边长为 $4$ 的工程用料，阴影部分是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线 $MN$ 为以 $AD$ 为对称轴的抛物线的一部分，且 $DM=DN=3$. 工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料 $BQPR$，当其面积有最大值时，$AQ$ 的长为______.