如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，四边形 $ABCD$ 中，$AB\perp AD$，$AB+AD=4$，$CD=\sqrt{2}$，$\angle CDA=45^\circ$.

(1) 求证：平面 $PAB\perp$ 平面 $PAD$； (2) 设 $AB=AP$.

(i) 若直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成的角为 $30^\circ$，求线段 $AB$ 的长； (ii) 在线段 $AD$ 上是否存在一个点 $G$，使得点 $G$ 到点 $P$，$B$，$C$，$D$ 的距离都相等？说明理由.