如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 $2r$，短半轴长为 $r$. 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 $AB$ 是半椭圆的短轴，上底 $CD$ 的端点在椭圆上，记 $CD = 2x$，梯形面积为 $S$.

(1) 求面积 $S$ 以 $x$ 为自变量的函数式，并写出其定义域. (2) 求面积 $S$ 的最大值.