如图，在 $\mathrm{Rt}\triangle AOB$ 中，$\angle OAB = \frac{\pi}{6}$，斜边 $AB = 4$. $\mathrm{Rt}\triangle AOC$ 可以通过 $\mathrm{Rt}\triangle AOB$ 以直线 $AO$ 为轴旋转得到，且二面角 $B-AO-C$ 是直二面角. 动点 $D$ 在斜边 $AB$ 上.

(1) 求证：平面 $COD$ $\perp$ 平面 $AOB$. (2) 当 $D$ 为 $AB$ 的中点时，求异面直线 $AO$ 与 $CD$ 所成角的大小. (3) 求 $CD$ 与平面 $AOB$ 所成角的最大值.