已知抛物线 $C:y^2=2px$ 过点 $P(1,1)$. 过点 $\left(0,\dfrac12\right)$ 作直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $M$，$N$，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线分别与直线 $OP$，$ON$ 交于点 $A$，$B$，其中 $O$ 为原点.

(1) 求抛物线 $C$ 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2) 求证：$A$ 为线段 $BM$ 的中点.