如图，正四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，底面边长为 $2\sqrt2$，侧棱长为 $4$. $E$，$F$ 分别为棱 $AB$，$BC$ 的中点，$EF\cap BD=G$.

(1) 求证：平面 $B_{1}EF\perp$ 平面 $BDD_{1}B_{1}$； (2) 求点 $D_{1}$ 到平面 $B_{1}EF$ 的距离 $d$； (3) 求三棱锥 $B_{1}-EFD_{1}$ 的体积 $V$.