如图，$F$ 为双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的右焦点，$P$ 为双曲线 $C$ 右支上一点，且位于 $x$ 轴上方，$M$ 为左准线上一点，$O$ 为坐标原点. 已知四边形 $OFPM$ 为平行四边形， $|PF| = \lambda |OF|$.

(1) 写出双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 与 $\lambda$ 的关系式. (2) 当 $\lambda = 1$ 时，经过焦点 $F$ 且平行于 $OP$ 的直线交双曲线于 $A$，$B$ 点，若 $|AB| = 12$，求此时的双曲线方程.