设函数 $f(x)=x\ln x-ax^2+(2a-1)x$，$a\in\mathbf{R}$.

(1) 令 $g(x)=f'(x)$，求函数 $g(x)$ 的单调区间； (2) 已知 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值，求实数 $a$ 的取值范围.