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08立体几何初步★★★★☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，点 OO 为线段 BDBD 的中点. 设点 PP 在线段 CC1CC_{1} 上，直线 OPOP 与平面 A1BDA_{1}BD 所成的角为 α\alpha，则 sin⁡α\sin \alpha 的取值范围是（ ）
A.
[33,1]\left[\frac{\sqrt{3}}{3},1\right]
B.
[63,1]\left[\frac{\sqrt{6}}{3},1\right]
C.
[63,223]\left[\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{2\sqrt{2}}{3}\right]
D.
[223,1]\left[\frac{2\sqrt{2}}{3},1\right]

2014 · 四川 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10解析几何★★★★☆
已知 FF 是抛物线 y2=xy^{2}=x 的焦点，点 AA，BB 在该抛物线上且位于 xx 轴的两侧，OA→⋅OB→=2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=2（其中 OO 为坐标原点），则 △ABO\triangle ABO 与 △AFO\triangle AFO 面积之和的最小值是（ ）
A.
22
B.
33
C.
1728\frac{17\sqrt{2}}{8}
D.
10\sqrt{10}

2014 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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14解析几何★★★★☆
设 m∈Rm \in \mathbf{R}，过定点 AA 的动直线 x+my=0x + my = 0 和过定点 BB 的动直线 mx−y−m+3=0mx - y - m + 3 = 0 交于点 P(x,y)P(x, y)，则 ∣PA∣⋅∣PB∣|PA| \cdot |PB| 的最大值是______.

2014 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
以 AA 表示值域为 R\mathbf{R} 的函数组成的集合，BB 表示具有如下性质的函数 φ(x)\varphi(x) 组成的集合：对于函数 φ(x)\varphi(x)，存在一个正数 MM，使得函数 φ(x)\varphi(x) 的值域包含于区间 [−M,M][-M, M]. 例如，当 φ1(x)=x3\varphi_1(x) = x^3，φ2(x)=sin⁡x\varphi_2(x) = \sin x 时，φ1(x)∈A\varphi_1(x) \in A，φ2(x)∈B\varphi_2(x) \in B. 现有如下命题：
① 设函数 f(x)f(x) 的定义域为 DD，则“f(x)∈Af(x) \in A”的充要条件是“∀b∈R\forall b \in \mathbf{R}，∃a∈D\exists a \in D，f(a)=bf(a)=b”； ② 函数 f(x)∈Bf(x) \in B 的充要条件是 f(x)f(x) 有最大值和最小值； ③ 若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域相同，且 f(x)∈Af(x) \in A，g(x)∈Bg(x) \in B，则 f(x)+g(x)∉Bf(x) + g(x) \notin B； ④ 若函数 f(x)=aln⁡(x+2)+xx2+1f(x) = a\ln(x + 2) + \frac{x}{x^{2} + 1}（x>−2x > -2，a∈Ra \in \mathbf{R}）有最大值，则 f(x)∈Bf(x) \in B.
其中的真命题有______.（写出所有真命题的序号）

2014 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★★☆
三棱锥 A−BCDA - BCD 及其侧视图、俯视图如图所示. 设 MM，NN 分别为线段 ADAD，ABAB 的中点，PP 为线段 BCBC 上的点，且 MN⊥NPMN \perp NP.
(1) 证明：PP 为线段 BCBC 的中点； (2) 求二面角 A−NP−MA - NP - M 的余弦值.

2014 · 四川 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为 dd，点 (an,bn)(a_{n}, b_{n}) 在函数 f(x)=2xf(x) = 2^{x} 的图象上 （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 若 a1=−2a_{1} = -2，点 (a8,4b7)(a_{8}, 4b_{7}) 在函数 f(x)f(x) 的图象上，求数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}； (2) 若 a1=1a_{1} = 1，函数 f(x)f(x) 的图象在点 (a2,b2)(a_{2}, b_{2}) 处的切线在 xx 轴上的截距为 2−1ln⁡22 - \frac{1}{\ln 2}，求数列 {anbn}\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\} 的前 nn 项和 TnT_{n}.

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 设 FF 为椭圆 CC 的左焦点，TT 为直线 x=−3x = -3 上任意一点，过 FF 作 TFTF 的垂线交椭圆 CC 于点 PP，QQ.
(i) 证明：OTOT 平分线段 PQPQ（其中 OO 为坐标原点）； (ii) 当 ∣TF∣∣PQ∣\frac{|TF|}{|PQ|} 最小时，求点 TT 的坐标.

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