已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$，$A(a,0)$，$B(0,b)$，$O(0,0)$，$\triangle OAB$ 的面积为 $1$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$. 求证：$|AN|\cdot|BM|$ 为定值.