已知 $b>-1$，$c>0$，函数 $f(x)=x+b$ 的图象与函数 $g(x)=x^2+bx+c$ 的图象相切.

(1) 求 $b$ 与 $c$ 的关系式（用 $c$ 表示 $b$）； (2) 设函数 $F(x)=f(x)g(x)$ 在 $\left(-\infty,+\infty\right)$ 内有极值点，求 $c$ 的取值范围.