已知函数 $f(x) = x\mathrm{e}^{-x}$（$x \in \mathbf{R}$）.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间和极值； (2) 已知函数 $y = g(x)$ 的图象与函数 $y = f(x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称. 证明：当 $x > 1$ 时，$f(x) > g(x)$； (3) 如果 $x_{1} \neq x_{2}$，且 $f(x_{1}) = f(x_{2})$，证明：$x_{1} + x_{2} > 2$.