圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴，$y$ 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 $P$（如图）.

(1) 求点 $P$ 的坐标； (2) 焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $C$ 过点 $P$，且与直线 $l: y = x + \sqrt{3}$ 交于 $A$，$B$ 两点，若 $\triangle PAB$ 的面积为 $2$，求 $C$ 的标准方程.

如图，$EP$ 交圆于 $E$，$C$ 两点，$PD$ 切圆于 $D$，$G$ 为 $CE$ 上一点且 $PG = PD$，连接 $DG$ 并延长交圆于点 $A$，作弦 $AB$ 垂直 $EP$，垂足为 $F$.

(1) 求证：$AB$ 为圆的直径； (2) 若 $AC = BD$，求证：$AB = ED$.