当 $x \in [-2, 1]$ 时，不等式 $ax^3 - x^2 + 4x + 3 \geqslant 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）

圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴，$y$ 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 $P$（如图）.

(1) 求点 $P$ 的坐标； (2) 焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $C$ 过点 $P$，且与直线 $l: y = x + \sqrt{3}$ 交于 $A$，$B$ 两点，若 $\triangle PAB$ 的面积为 $2$，求 $C$ 的标准方程.