$4$ 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 $100$ 分，答错得 $-100$ 分；选乙题答对得 $90$ 分，答错得 $-90$ 分；若 $4$ 位同学的总分为 $0$，则这 $4$ 位同学不同得分情况的种数是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 设四位同学中选甲题答对、答错的人数分别为 $p$，$q$，选乙题答对、答错的人数分别为 $r$，$s$. 则 $p+q+r+s=4$，$100(p-q)+90(r-s)=0$. 第二个等式化为 $10(p-q)+9(r-s)=0$. 由于 $\lvert p-q\rvert\leqslant4$、$\lvert r-s\rvert\leqslant4$，且 $9$ 与 $10$ 互质，只能有 $p-q=0$、$r-s=0$. 因而 $p=q$、$r=s$，并且 $p+r=2$.

当 $(p,r)=(0,2)$ 或 $(2,0)$ 时，各有 $\mathrm C_4^2=6$ 种；当 $(p,r)=(1,1)$ 时，四类得分各出现一次，有 $4!=24$ 种. 所以不同得分情况共有 $6+24+6=36$ 种，故选 B. \end{solution}

设 $P$ 是 $\triangle ABC$ 内任意一点，$S_{\triangle ABC}$ 表示 $\triangle ABC$ 的面积，$\lambda_1 = \frac{S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle ABC}}$，$\lambda_2 = \frac{S_{\triangle PCA}}{S_{\triangle ABC}}$，$\lambda_3 = \frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle ABC}}$，定义 $f(P) = (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$，若 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，$f(Q) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right)$，则（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 由面积比的定义，$\lambda_1$，$\lambda_2$，$\lambda_3$ 是点相对于三角形 $ABC$ 的面积坐标，故点 $Q$ 的重心坐标为 $\left(\frac12,\frac13,\frac16\right)$，而 $G$ 的重心坐标为 $\left(\frac13,\frac13,\frac13\right)$. 直接计算得 右端三个系数均为正且和为 $1$，所以 $Q$ 在 $\triangle GAB$ 内，故选 A. \end{solution}

设函数 $f(x)$ 的图象与直线 $x = a$，$x = b$ 及 $x$ 轴所围成图形的面积称为函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的面积. 已知函数 $y = \sin nx$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{n}\right]$ 上的面积为 $\frac{2}{n}$（$n \in \mathbf{N}^*$）.

(1) $y = \sin 3x$ 在 $\left[0, \frac{2\pi}{3}\right]$ 上的面积为______； (2) $y = \sin (3x - \pi) + 1$ 在 $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right]$ 上的面积为______.

\begin{answer} $\frac{4}{3}$，$\pi + \frac{2}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 第一问中令 $t=3x$，则 $t$ 从 $0$ 变到 $2\pi$，故所求面积为

第二问中令 $t=3x-\pi$，则 $t$ 从 $0$ 变到 $3\pi$. 因为 $\sin t+1\geqslant0$，所求面积就是曲线与 $x$ 轴之间的积分： \end{solution}

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左、右焦点为 $F_1$，$F_2$，离心率为 $e$. 直线 $l: y = ex + a$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于点 $A$，$B$，$M$ 是直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的一个公共点，$P$ 是点 $F_1$ 关于直线 $l$ 的对称点. 设 $\overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{AB}$.

(1) 证明：$\lambda=1-e^{2}$； (2) 确定 $\lambda$ 的值，使得 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 是等腰三角形.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由离心率定义，$e=\dfrac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}$，所以 $b^{2}=a^{2}(1-e^{2})$，且 $0<e<1$. 直线 $l$ 与坐标轴的交点为 $A=\left(-\dfrac{a}{e},0\right)$、$B=(0,a)$，故

由 $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$，得 $M=\left(\dfrac{a(\lambda-1)}{e},a\lambda\right)$. 将其代入椭圆方程，得

两边乘以 $e^{2}(1-e^{2})$，化简得

即 $\left[\lambda-(1-e^{2})\right]^{2}=0$. 因此 $\lambda=1-e^{2}$.

\item 椭圆的两个焦点为 $F_{1}=(-ae,0)$、$F_{2}=(ae,0)$，直线 $l$ 的方程可写为 $ex-y+a=0$. 点 $F_{1}$ 到直线 $l$ 的距离为

由于 $P$ 是 $F_{1}$ 关于 $l$ 的对称点，所以 $PF_{1}=2d=\dfrac{2a(1-e^{2})}{\sqrt{1+e^{2}}}$，而 $F_{1}F_{2}=2ae$. 又 $\overrightarrow{F_{1}P}$ 的方向为 $(-e,1)$，$\overrightarrow{F_{1}F_{2}}=(2ae,0)$，两向量的内积为负，因此 $\angle PF_{1}F_{2}$ 是钝角. 等腰三角形的钝角只能是顶角，故若 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 为等腰三角形，必须有 $PF_{1}=F_{1}F_{2}$. 于是

即 $(1-e^{2})^{2}=e^{2}(1+e^{2})$. 化简得 $1-3e^{2}=0$. 因为 $e>0$，所以 $e=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，从而

\end{enumerate} \end{solution}