已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左、右焦点为 $F_1$，$F_2$，离心率为 $e$. 直线 $l: y = ex + a$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于点 $A$，$B$，$M$ 是直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的一个公共点，$P$ 是点 $F_1$ 关于直线 $l$ 的对称点. 设 $\overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{AB}$.

(1) 证明：$\lambda=1-e^{2}$； (2) 确定 $\lambda$ 的值，使得 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 是等腰三角形.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由离心率定义，$e=\dfrac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}$，所以 $b^{2}=a^{2}(1-e^{2})$，且 $0<e<1$. 直线 $l$ 与坐标轴的交点为 $A=\left(-\dfrac{a}{e},0\right)$、$B=(0,a)$，故

由 $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$，得 $M=\left(\dfrac{a(\lambda-1)}{e},a\lambda\right)$. 将其代入椭圆方程，得

两边乘以 $e^{2}(1-e^{2})$，化简得

即 $\left[\lambda-(1-e^{2})\right]^{2}=0$. 因此 $\lambda=1-e^{2}$.

\item 椭圆的两个焦点为 $F_{1}=(-ae,0)$、$F_{2}=(ae,0)$，直线 $l$ 的方程可写为 $ex-y+a=0$. 点 $F_{1}$ 到直线 $l$ 的距离为

由于 $P$ 是 $F_{1}$ 关于 $l$ 的对称点，所以 $PF_{1}=2d=\dfrac{2a(1-e^{2})}{\sqrt{1+e^{2}}}$，而 $F_{1}F_{2}=2ae$. 又 $\overrightarrow{F_{1}P}$ 的方向为 $(-e,1)$，$\overrightarrow{F_{1}F_{2}}=(2ae,0)$，两向量的内积为负，因此 $\angle PF_{1}F_{2}$ 是钝角. 等腰三角形的钝角只能是顶角，故若 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 为等腰三角形，必须有 $PF_{1}=F_{1}F_{2}$. 于是

即 $(1-e^{2})^{2}=e^{2}(1+e^{2})$. 化简得 $1-3e^{2}=0$. 因为 $e>0$，所以 $e=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，从而

\end{enumerate} \end{solution}