设 $b > 0$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{2b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，抛物线方程为 $x^2 = 8(y - b)$. 如图所示，过点 $F(0, b + 2)$ 作 $x$ 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 $G$. 已知抛物线在点 $G$ 的切线经过椭圆的右焦点 $F_1$.

(1) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； (2) 设 $A$，$B$ 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\triangle ABP$ 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点，并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.

设 $k \in \mathbf{R}$，函数 $F(x) = f(x) - kx$，$x \in \mathbf{R}$. 试讨论函数 $F(x)$ 的单调性.