如图所示，四棱锥 $P - ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是半径为 $R$ 的圆的内接四边形，其中 $BD$ 是圆的直径，$\angle ABD = 60^\circ$，$\angle BDC = 45^\circ$. $PD$ 垂直底面 $ABCD$，$PD = 2\sqrt{2}R$. $E$，$F$ 分别是 $PB$，$CD$ 上的点，且 $\frac{PE}{EB} = \frac{DF}{FC}$. 过点 $E$ 作 $BC$ 的平行线交 $PC$ 于 $G$.

(1) 求 $BD$ 与平面 $ABP$ 所成角 $\theta$ 的正切值； (2) 证明：$\triangle EFG$ 是直角三角形； (3) 当 $\frac{PE}{EB} = \frac{1}{2}$ 时，求 $\triangle EFG$ 的面积.