设 $b > 0$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{2b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，抛物线方程为 $x^2 = 8(y - b)$. 如图所示，过点 $F(0, b + 2)$ 作 $x$ 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 $G$. 已知抛物线在点 $G$ 的切线经过椭圆的右焦点 $F_1$.

(1) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； (2) 设 $A$，$B$ 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\triangle ABP$ 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点，并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.

设 $k \in \mathbf{R}$，函数 $F(x) = f(x) - kx$，$x \in \mathbf{R}$. 试讨论函数 $F(x)$ 的单调性.

如图所示，四棱锥 $P - ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是半径为 $R$ 的圆的内接四边形，其中 $BD$ 是圆的直径，$\angle ABD = 60^\circ$，$\angle BDC = 45^\circ$. $PD$ 垂直底面 $ABCD$，$PD = 2\sqrt{2}R$. $E$，$F$ 分别是 $PB$，$CD$ 上的点，且 $\frac{PE}{EB} = \frac{DF}{FC}$. 过点 $E$ 作 $BC$ 的平行线交 $PC$ 于 $G$.

(1) 求 $BD$ 与平面 $ABP$ 所成角 $\theta$ 的正切值； (2) 证明：$\triangle EFG$ 是直角三角形； (3) 当 $\frac{PE}{EB} = \frac{1}{2}$ 时，求 $\triangle EFG$ 的面积.