如图，在正方形 $OABC$ 中，$O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(10,0)$，点 $C$ 的坐标为 $(0,10)$. 分别将线段 $OA$ 和 $AB$ 十等分，分点分别记为 $A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_9$ 和 $B_1$，$B_2$，$\cdots$，$B_9$，连接 $OB_i$，过 $A_i$ 作 $x$ 轴的垂线与 $OB_i$ 交于点 $P_i$（$i \in \mathbf{N}^{*}$，$1 \leqslant i \leqslant 9$）.

(1) 求证：点 $P_i$（$i \in \mathbf{N}^{*}$，$1 \leqslant i \leqslant 9$）都在同一条抛物线上，并求该抛物线 $E$ 的方程； (2) 过点 $C$ 作直线 $l$ 与抛物线 $E$ 交于不同的两点 $M$，$N$，若 $\triangle OCM$ 与 $\triangle OCN$ 的面积之比为 $4 : 1$，求直线 $l$ 的方程.