如图，在四棱柱 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，侧棱 $AA_1 \perp$ 底面 $ABCD$，$AB \parallel DC$，$AA_1 = 1$，$AB = 3k$，$AD = 4k$，$BC = 5k$，$DC = 6k$（$k > 0$）.

(1) 求证：$CD \perp$ 平面 $ADD_1A_1$； (2) 若直线 $AA_1$ 与平面 $AB_1C$ 所成的正弦值为 $\frac{6}{7}$，求 $k$ 的值； (3) 现将与四棱柱 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为一种拼接方案，问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 $f(k)$，写出 $f(k)$ 的解析式.（直接写出答案，不必说明理由）