已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_{1}(-c, 0)$，$F_{2}(c, 0)$. 若双曲线上存在一点 $P$ 使 $\frac{\sin \angle PF_{1}F_{2}}{\sin \angle PF_{2}F_{1}} = \frac{a}{c}$，则该双曲线的离心率的取值范围为______.

\begin{answer} $(1,\sqrt{2}+1)$ \end{answer}

\begin{solution} 在三角形 $PF_1F_2$ 中，由正弦定理 故 $PF_2<PF_1$，点 $P$ 在双曲线的右支，并且双曲线定义给出 令 $PF_1=r_1$，$PF_2=r_2$，则 $r_2=\frac{r_1}{e}$，从而 $r_1=\frac{2ae}{e-1}$，$r_2=\frac{2a}{e-1}$. 三角形存在的必要条件是 $r_1+r_2>F_1F_2=2c=2ae$，于是 结合双曲线离心率 $e>1$，得 反之，在此范围内，除 外，还有 $r_2+2c-r_1=2c-2a=2a(e-1)>0$，$r_1+2c-r_2=2a+2c>0$. 所以三边 $r_1$，$r_2$，$2c$ 满足三角形不等式，且 $r_1-r_2=2a$，可构成右支上一点 $P$，故范围正是 \end{solution}