已知二面角 $\alpha - l - \beta$ 的大小为 $50^{\circ}$，$P$ 为空间中任意一点，则过点 $P$ 且与平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 所成的角都是 $25^{\circ}$ 的直线的条数为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 以交线 $l$ 为 $z$ 轴，在垂直于 $l$ 的截面内取平面 $\alpha$ 的方向为方位角 $0$，平面 $\beta$ 的方向为方位角 $50^{\circ}$. 设所求直线的一个单位方向向量为 $\boldsymbol{u}=(\rho\cos\psi,\rho\sin\psi,\eta)$，$\rho\geqslant0$，$\rho^{2}+\eta^{2}=1$ 其中 $\psi$ 按 $180^{\circ}$ 计. 直线与平面的夹角等于方向向量与平面法向量夹角的余角，因此 于是 从而 $\psi=25^{\circ}$ 或 $\psi=115^{\circ}$（按 $180^{\circ}$ 计）.

当 $\psi=25^{\circ}$ 时，$\rho=1$，所以 $\eta=0$，得到 1 条直线；当 $\psi=115^{\circ}$ 时， 此时 $\eta=\pm\sqrt{1-\rho^{2}}$，得到 2 条不同的直线. 因此直线共有 $1+2=3$ 条，选 B. \end{solution}

如图，在四棱锥 $S - ABCD$ 中，$AD \parallel BC$ 且 $AD \perp CD$；平面 $CSD \perp$ 平面 $ABCD$，$CS \perp DS$，$CS = 2AD = 2$，$E$ 为 $BS$ 的中点，$CE = \sqrt{2}$，$AS = \sqrt{3}$. 求：

(1) 点 $A$ 到平面 $BCS$ 的距离； (2) 二面角 $E - CD - A$ 的大小.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由平面 $CSD\perp$ 平面 $ABCD$，且两平面的交线为 $CD$，又 $AD\perp CD$，得 $AD\perp$ 平面 $CSD$. 因而 从而 $DS=\sqrt{3-1}=\sqrt2$. 在直角三角形 $CSD$ 中，$CS\perp DS$，故 建立直角坐标系，取 $C=(0,0,0)$，$D=(\sqrt6,0,0)$，$A=(\sqrt6,1,0)$. 令平面 $CSD$ 为 $y=0$，由 $CS=2$，$DS=\sqrt2$ 解得 设 $B=(0,t,0)$. 由四边形顶点顺序取 $t>0$. 因 $E$ 为 $BS$ 的中点， 由 $CE=\sqrt2$ 得 故 $t=2$，即 $B=(0,2,0)$. 平面 $BCS$ 的方程为 所以点 $A$ 到该平面的距离为 \item 平面 $ACD$ 为 $z=0$，可取其法向量 $\boldsymbol{n}_1=(0,0,1)$. 又 $\overrightarrow{CD}=(\sqrt6,0,0)$，$\overrightarrow{CE}=\left(\frac{\sqrt6}{3},1,\frac{\sqrt3}{3}\right)$， 故平面 $ECD$ 的法向量可取 二面角取锐角 $\theta$，则 因此 $\theta=\frac{\pi}{6}$. \end{enumerate} \end{solution}