设 $a>0$，$b>0$，已知函数 $f(x)=\frac{ax+b}{x+1}$.

(1) 当 $a\neq b$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性； (2) 当 $x>0$ 时，称 $f(x)$ 为 $a$，$b$ 关于 $x$ 的加权平均数.

(i) 判断 $f(1)$，$f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$，$f\left(\frac{b}{a}\right)$ 是否成等比数列，并证明 $f\left(\frac{b}{a}\right)\leqslant f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$； (ii) $a$，$b$ 的几何平均数记为 $G$，称 $\frac{2ab}{a+b}$ 为 $a$，$b$ 的调和平均数，记为 $H$，若 $H\leqslant f(x)\leqslant G$，求 $x$ 的取值范围.