如图，在棱长为 2 的正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$E$，$F$，$M$，$N$ 分别是棱 $AB$，$AD$，$A_{1}B_{1}$，$A_{1}D_{1}$ 的中点，点 $P$，$Q$ 分别在棱 $DD_{1}$，$BB_{1}$ 上移动，且 $DP = BQ = \lambda$（$0 < \lambda < 2$）.

(1) 当 $\lambda = 1$ 时，证明：直线 $BC_{1}$ $\parallel$ 平面 $EFPQ$. (2) 是否存在 $\lambda$，使平面 $EFPQ$ 与面 $PQMN$ 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由.