设三角函数 $f(x)=\sin\left(\frac{kx}{5}+\frac{\pi}{3}\right)$，其中 $k\neq0$.

(1) 写出 $f(x)$ 极大值 $M$，极小值 $m$ 与最小正周期 $T$； (2) 试求最小的正整数 $k$，使得当自变量 $x$ 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 $f(x)$ 至少有一个值是 $M$ 与一个值是 $m$.

已知 $0 < \alpha < \pi$，证明：$2\sin 2\alpha\leqslant\cot\frac{\alpha}{2}$；并讨论 $\alpha$ 为何值时等号成立.