设 $t \neq 0$，点 $P(t,0)$ 是函数 $f(x) = x^3 + ax$ 与 $g(x) = bx^2 + c$ 的图象的一个公共点，两函数的图象在点 $P$ 处有相同的切线.

(1) 用 $t$ 表示 $a$，$b$，$c$； (2) 若函数 $y = f(x) - g(x)$ 在 $(-1, 3)$ 上单调递减，求 $t$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 记 $h(x)=f(x)-g(x)$. 因为 $P(t,0)$ 在两条曲线上，所以 $t^3+at=0$，$bt^2+c=0$. 又因为两条曲线在 $P$ 处有相同的切线，所以切线斜率相等，即 $f'(t)=g'(t)$，$3t^2+a=2bt$. 由 $t\neq0$，第一式给出 $a=-t^2$. 将其代入斜率关系，得 $2t^2=2bt$，所以 $b=t$. 再由 $bt^2+c=0$，得 $c=-t^3$. 因此 $a=-t^2$，$b=t$，$c=-t^3$.

\item 代入所得参数， 从而 函数 $h(x)$ 在 $(-1,3)$ 上单调递减，要求 $h'(x)\leqslant0$ 在该区间上成立. 因为 $h'(x)$ 是开口向上的二次函数，所以区间 $(-1,3)$ 必须位于两个零点之间.

当 $t>0$ 时，两个零点为 $-\frac{t}{3}$ 和 $t$，且 $-\frac{t}{3}<t$. 要使 $(-1,3)$ 位于两根之间，需 $-\frac{t}{3}\leqslant-1$，$t\geqslant3$ 这等价于 $t\geqslant3$.

当 $t<0$ 时，两个零点为 $t$ 和 $-\frac{t}{3}$，且 $t<-\frac{t}{3}$. 此时需 $t\leqslant-1$，$-\frac{t}{3}\geqslant3$ 这等价于 $t\leqslant-9$.

当 $t=3$ 或 $t=-9$ 时，导数为零的点分别是区间端点，开区间 $(-1,3)$ 内仍有 $h'(x)<0$. 故 $t$ 的取值范围为 \end{enumerate} \end{solution}