常数 $a>0$，将函数 $y=\frac2x$（$x>0$）的图象先向右平移 $1$ 个单位，再向下平移 $a$ 个单位，然后将所得的图象在 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴向上翻折，其余部分保持不变，得到函数 $f(x)=\left|\frac2{x-1}-a\right|$（$x>1$）的图象 $L$，当 $a=a_0$ 时，$L$ 与 $x$ 轴交点为 $A$，在 $L$ 上任意一点 $P$（$P$ 异于 $A$），总存在一点 $Q$ 使得 $AP\perp AQ$ 且 $|AP|=|AQ|$，则 $a_0=$______.