已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n<a_{n+1}$（$n\in\mathbf{N}^*$），若点 $P_n(n,a_n)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1$ 上，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}|P_nP_{n+1}|=$______.