$2$ 位男生和 $3$ 位女生共 $5$ 位同学站成一排，若男生甲不站两端，$3$ 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）

设 $V$ 是已知平面 $M$ 上所有向量的集合. 对于映射 $f: V \to V$，$\boldsymbol{a} \in V$，记 $\boldsymbol{a}$ 的象为 $f(\boldsymbol{a})$. 若映射 $f: V \to V$ 满足：对所有 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b} \in V$ 及任意实数 $\lambda$，$\mu$ 都有 $f(\lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{b}) = \lambda f(\boldsymbol{a}) + \mu f(\boldsymbol{b})$，则 $f$ 称为平面 $M$ 上的线性变换. 现有下列命题：

① 设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，则 $f(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = f(\boldsymbol{a}) + f(\boldsymbol{b})$； ② 若 $\boldsymbol{e}$ 是平面 $M$ 上的单位向量，对 $\boldsymbol{a} \in V$，设 $f(\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{e}$，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换； ③ 对 $\boldsymbol{a} \in V$，设 $f(\boldsymbol{a}) = -\boldsymbol{a}$，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换； ④ 设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，$\boldsymbol{a} \in V$，则对任意实数 $k$ 均有 $f(k\boldsymbol{a}) = kf(\boldsymbol{a})$.

其中真命题是______.（写出所有真命题的序号）

如图，正方形 $ABCD$ 所在平面与平面四边形 $ABEF$ 所在平面互相垂直，$\triangle ABE$ 是等腰直角三角形，$AB = AE$，$FA = FE$，$\angle AEF = 45^{\circ}$.

(1) 求证： $EF \perp$ 平面 $BCE$； (2) 设线段 $CD$，$AE$ 的中点分别为 $P$，$M$，求证： $PM \parallel$ 平面 $BCE$； (3) 求二面角 $F - BD - A$ 的大小.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在正方形所在平面内，$BC\perp AB$. 又两平面的交线为 $AB$，且两平面互相垂直，所以 $BC\perp$ 平面 $ABEF$，从而 $BC\perp EF$.

因 $\triangle ABE$ 是等腰直角三角形且 $AB=AE$，其直角在 $A$，故 $\angle AEB=45^{\circ}$. 在平面 $ABEF$ 内，题设又给出 $\angle AEF=45^{\circ}$. 由于 $ABEF$ 是非退化四边形，$EF$ 不与 $EB$ 重合，因此 $EF$ 取的是 $EA$ 的另一侧射线，从而 $\angle BEF=90^{\circ}$，即 $BE\perp EF$. 直线 $BC$、$BE$ 相交且都在平面 $BCE$ 内，$EF$ 同时垂直于它们，所以 $EF\perp$ 平面 $BCE$.

\item 取 $AB=1$，建立空间直角坐标系，使 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=(1,1,0)$，$D=(0,1,0)$ $E=(0,0,1)$，$F=\left(-\frac12,0,\frac12\right)$. 这些坐标满足题设的垂直、等腰直角及等腰条件. 设 $N$ 为 $BE$ 的中点，则 $P=\left(\frac12,1,0\right)$，$M=\left(0,0,\frac12\right)$，$N=\left(\frac12,0,\frac12\right)$. 于是 所以 $PM\parallel CN$. 又平面 $BCE$ 的方程为 $x+z=1$，而 $P$ 的坐标满足 $x+z=\frac12$，故 $P\notin$ 平面 $BCE$. 因此 $PM\parallel$ 平面 $BCE$.

\item 在上述坐标系中，平面 $ABD$ 的方程为 $z=0$. 平面 $FBD$ 内两条相交向量可取 $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{BF}=\left(-\frac32,0,\frac12\right)$. 故其法向量可取 而平面 $ABD$ 的法向量为 $(0,0,1)$. 设二面角 $F-BD-A$ 的大小为 $\theta$，取其锐角，则 所以 $\theta=\arctan\frac{\sqrt2}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$，右准线方程为 $x = 2$.

(1) 求椭圆的标准方程； (2) 过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与该椭圆交于 $M$，$N$ 两点，且 $\left|\overrightarrow{F_2M} + \overrightarrow{F_2N}\right| = \frac{2\sqrt{26}}{3}$，求直线 $l$ 的方程.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由离心率 $e=\frac ca=\frac{\sqrt2}{2}$，右准线为 $x=\frac ae=2$，得 $a=\sqrt2$，$c=ae=1$. 于是 $b^2=a^2-c^2=1$，椭圆的标准方程为

\item 已知 $F_1=(-1,0)$. 若直线 $l$ 不是竖直线，设其方程为 $y=k(x+1)$. 令交点 $M$，$N$ 的横坐标分别为 $x_1$，$x_2$，代入椭圆方程得 由韦达定理， $x_1+x_2=-\frac{4k^2}{1+2k^2}$，$y_1+y_2=k(x_1+x_2+2)=\frac{2k}{1+2k^2}$. 因 $F_2=(1,0)$，所以 从而 根据题设，该式等于 $\left(\frac{2\sqrt{26}}{3}\right)^2=\frac{104}{9}$，整理得 $40k^4-23k^2-17=0$，$(k^2-1)(40k^2+17)=0$. 所以 $k^2=1$，即 $k=1$ 或 $k=-1$. 还需讨论过 $F_1$ 的竖直线 $x=-1$. 此时交点为 $M=(-1,\frac{\sqrt2}{2})$、$N=(-1,-\frac{\sqrt2}{2})$，从而 $\left|\overrightarrow{F_2M}+\overrightarrow{F_2N}\right|=4\ne\frac{2\sqrt{26}}{3}$，不符合题设. 因此 \end{enumerate} \end{solution}