已知数列 $\{a_{n}\}$ （$n$ 为正整数）是首项是 $a_{1}$，公比为 $q$ 的等比数列.

(1) 求和：$a_{1}\mathrm C_{2}^{0} - a_{2}\mathrm C_{2}^{1} + a_{3}\mathrm C_{2}^{2}$，$a_{1}\mathrm C_{3}^{0} - a_{2}\mathrm C_{3}^{1} + a_{3}\mathrm C_{3}^{2} - a_{4}\mathrm C_{3}^{3}$； (2) 由前一问的结果归纳概括出关于正整数 $n$ 的一个结论，并加以证明； (3) 设 $q \neq 1$，$S_n$ 是等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和. 求：$S_1\mathrm C_n^0 - S_2\mathrm C_n^1 + S_3\mathrm C_n^2 - S_4\mathrm C_n^3 + \cdots + (-1)^n S_{n+1}\mathrm C_n^n$.