已知三棱锥 $P-ABC$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AC$，$AB$ 的中点，$\triangle ABC$，$\triangle PEF$ 都是正三角形，$PF \perp AB$.

(1) 证明：$PC \perp$ 平面 $PAB$； (2) 求二面角 $P-AB-C$ 的平面角的余弦值； (3) 若点 $P$，$A$，$B$，$C$ 在一个表面积为 $12\pi$ 的球面上，求 $\triangle ABC$ 的边长.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设正三角形 $ABC$ 的边长为 $a$. 由 $E$ 是 $AC$ 的中点，且 $\triangle PEF$ 与 $\triangle ABC$ 都是正三角形，有 $PE=EF=\frac a2$，$AE=CE=\frac a2$. 因此 $E$ 到 $A$，$C$，$P$ 三点的距离相等，$E$ 是 $\triangle APC$ 外接圆的圆心，而 $AC$ 是该圆的直径，从而 $\angle APC=90^\circ$，即 $AP\perp PC$.

又因为 $F$ 是正三角形 $ABC$ 的边 $AB$ 的中点，所以 $CF\perp AB$；题设给出 $PF\perp AB$. 直线 $PF$，$CF$ 在平面 $PFC$ 内相交，故 $AB\perp$ 平面 $PFC$，从而 $PC\perp AB$. 直线 $AP$，$AB$ 是平面 $PAB$ 内相交的两条直线，且 $PC$ 同时垂直于它们，所以 $PC\perp$ 平面 $PAB$.

\item 因为 $PF\perp AB$，$CF\perp AB$，所以 $\angle PFC$ 是二面角 $P-AB-C$ 的平面角. 又 $PF=AF=\frac a2$，$PF\perp AF$， 故在直角三角形 $PAF$ 中， $PA^2=PF^2+AF^2=\frac{a^2}{2}$. 由第（1）问，$\triangle APC$ 在 $P$ 处直角，所以 正三角形的中线给出 $CF=\frac{\sqrt3}{2}a$. 在 $\triangle PFC$ 中应用余弦定理，得

\item 由 $BF=AF=\frac a2$ 且 $PF\perp AB$，同理可得 $PB^2=PF^2+BF^2=\frac{a^2}{2}$. 于是 $PA=PB=PC=\frac{a}{\sqrt2}$. 又 $PA^2+PB^2=a^2=AB^2$， 所以 $PA\perp PB$；结合第（1）问的 $PC\perp$ 平面 $PAB$，从点 $P$ 出发的三条棱 $PA$，$PB$，$PC$ 两两垂直.

设球的半径为 $R$. 由球的表面积为 $12\pi$，得 $4\pi R^2=12\pi$，所以 $R=\sqrt3$. 对于三条两两垂直且长度均为 $s=\frac a{\sqrt2}$ 的棱，球心到点 $P$，$A$，$B$，$C$ 的距离相等，故球心在三条棱方向上的坐标均为 $\frac s2$，从而 $R^2=3\left(\frac s2\right)^2=\frac{3a^2}{8}$. 代入 $R^2=3$，得 $a^2=8$，所以 $\triangle ABC$ 的边长为 $2\sqrt2$. \end{enumerate} \end{solution}