在 $\triangle ABC$ 中，$a$，$b$，$c$ 分别是 $A$，$B$，$C$ 的对边，设 $a + c = 2b$，$A - C = \frac{\pi}{3}$，求 $\sin B$ 的值.

如图，直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 相交于点 $M$，$l_{1} \perp l_{2}$，点 $N \in l_{1}$. 以 $A$，$B$ 为端点的曲线段 $C$ 上的任一点到 $l_{2}$ 的距离与到点 $N$ 的距离相等. 若 $\triangle AMN$ 为锐角三角形，$|AM| = \sqrt{17}$，$|AN| = 3$，且 $|BN| = 6$. 建立适当的坐标系，求曲线段 $C$ 的方程.

已知斜三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 的侧面 $A_{1}ACC_{1}$ 与底面 $ABC$ 垂直，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$BC = 2$，$AC = 2\sqrt{3}$. 且 $AA_{1} \perp A_{1}C$，$AA_{1} = A_{1}C$.

(1) 求侧棱 $A_{1}A$ 与底面 $ABC$ 所成角的大小； (2) 求侧面 $A_{1}ABB_{1}$ 与底面 $ABC$ 所成二面角的大小； (3) 求侧棱 $B_{1}B$ 和侧面 $A_{1}ACC_{1}$ 的距离.

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 $2\text{ 米}$ 的无盖长方体沉淀槽，污水从 $A$ 孔流入，经沉淀后从 $B$ 孔流出. 设箱体的长度为 $a\text{ 米}$，高度为 $b\text{ 米}$. 已知流出的水中该杂质的质量分数与 $a$，$b$ 的乘积 $ab$ 成反比. 现有制箱材料 $60\text{ 平方米}$. 问当 $a$，$b$ 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.（$A$，$B$ 孔的面积忽略不计）