如图，双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a$，$b > 0$）的两顶点为 $A_1$，$A_2$，虚轴两端点为 $B_1$，$B_2$，两焦点为 $F_1$，$F_2$. 若以 $A_1A_2$ 为直径的圆内切于菱形 $F_1B_1F_2B_2$，切点分别为 $A$，$B$，$C$，$D$. 则

(1) 双曲线的离心率 $e =\underline{\hspace{2em}}$； (2) 菱形 $F_{1}B_{1}F_{2}B_{2}$ 的面积 $S_{1}$ 与矩形 $ABCD$ 的面积 $S_{2}$ 的比值 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =\underline{\hspace{2em}}$.