设 $f(x) = 3ax^2 + 2bx + c$，若 $a + b + c = 0$，$f(0)f(1) > 0$.

(1) 求证：方程 $f(x)=0$ 有实根； (2) 求证：$-2 < \frac{b}{a} < -1$； (3) 设 $x_{1}$，$x_{2}$ 是方程 $f(x) = 0$ 的两个实根，则 $\frac{\sqrt{3}}{3} \leqslant |x_{1} - x_{2}| < \frac{2}{3}$.