设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，满足 $f(x+1)=2f(x)$，且当 $x\in(0,1]$ 时，$f(x)=x(x-1)$. 若对任意 $x\in(-\infty,m]$，都有 $f(x)\ge -\dfrac89$，则 $m$ 的取值范围是（ ）

已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{x+1}{x-1}$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性，并证明 $f(x)$ 有且仅有两个零点； (2) 设 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个零点，证明曲线 $y=\ln x$ 在点 $A(x_0,\ln x_0)$ 处的切线也是曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 的切线.